【好奇心之旅】一、人类数学的起源以及其他灵长类动物到底识数么？

缘起

如果我的严重拖延症和抑郁症还有救的话，这将是一个很长的系列。我有一个想象中的名字，《XX、XXXXXX和XXXXX》，因为这个题目听起来口气太大，为了尽量让这个系列有机会成长，我们暂时用《好奇心之旅》这个题目来做系列的名字。

叫好奇心之旅的原因是，我喜欢看各种书的前言，大多数历史书的前言都在讲历史的意义。经过了这么多年的阅读，我倒是觉得或许各种意义都存在，但是真正的意义其实就是满足我们的好奇心，我们只是想知道，在那个遥远的年代，我们的祖先，是不是跟我们一样生活，有什么相同，有什么不同而已。有意思的是，有很多事情，出乎意料的几千年，几万年可能都不变，有些事情则好像天天在变，这其中确实有可能蕴含了某种哲学，某种道理，但是研究这些已经淹没了的信息，更重要的，也许还是满足我们的好奇心吧……

人类数学的起源

列朋波骨

20世纪70年代人们在南非和斯威士兰（Swaziland）交界的列朋波山脉（Lebombo Mountains）的山洞里面，发现了一块带有大量刻痕的旧石器时代晚期的骨器。

这块骨器是用狒狒的小腿骨制成的，距今43000年左右。因为有29个刻痕，所以，有人怀疑是用来记录月相的，或者说是用来记录女性生理期的。（1）研究发现，这块骨器表面很光滑，说明曾经被长期使用，而刻痕是由四件不同的工具去刻下的，而且从刻的时间上看也是分四次刻制的，前三组完成后，第四组才刻上的。（2）

因为一个月相周期，也叫做朔望月是29.53天，而月亮是人类最容易观测到其变化周期的天体，不需要任何的仪器、测量以及计算的知识，就应该能知道月相变化是有一定规律的。

虽然我们不用任何数学天文知识，都可以自然的感知到，四季的变化也是某种循环，大概有一定周期，可以自然的形成年的概念。但是四季物象变化周期并不准确，难以观察出来一个精准的规律。而太阳周期确实是可以通过阴影变化得到很准确的数据的，但是这明显对天文，数学的要求就高多了（相比观察月亮周期）。

如果掌握了月亮周期，但是还不知道精确的太阳周期，实际上也是可以构建一个粗略的纯月历。比如，当下冰天雪地，啥时候可以开春出去打猎，也许可以说还有三个棍子周期就可以了，再数三次棍子即可。或者每个四季的更替大概是12到13个棍子周期。

女性生理周期也正好跟月亮周期符合，所以这也是一个合理的猜测。但是，我们对旧石器时代的女性生理期的卫生习惯常识一无所知。所以，也很难想象具体细节。

所以，29就成了一个魔法数字，史前的文物只要发现了跟29相关的数字，大家就会怀疑，这是否是代表了一个月历呢？

一本叫做《Our Beautiful, Dry, and Distant Texts: Art History as Writing》就试图把一些类似时期的其他骨器解释成月历。而Michael Rappenglueck博士就把法国山洞里面发现的距今1万5000年前的岩画里，马下面的点也解释成了月历（3）。很多人都不认可这两个解释。

事实上，我们既没有证据说，这些东西一定不是月历，也不能说它一定就是。不利于列朋波骨的一端有折断，所以也许它本来包含更多的刻痕呢？事实上，在骨器上有各种刻痕最早在8万年前的骨器就可以找到，但是很多目前完全无法解释，他们是随机乱刻呢，还是存在某种意义。

因为旧石器时代也没有任何文字历史，所以，我们仅看骨头也很难猜测，那个时代的人有没有数字的概念，还是仅仅能把物体或者时间和刻痕去对应，有没有进制的概念，等等。

但是，对我的好奇心之旅来说，最好玩的部分在于，也许我们永远无法精确的知道那个时代，我们的祖先是怎么理解数字，数学和计算的。如果列朋波骨真的是一个月历，或者其他的计数装置，那么，我们就发现了最早的数学，或者叫做计数，计算辅助工具。从我们的学校教育也可以看出一些端倪，要让孩子一开始就熟悉抽象的数学概念，往往是需要一些实体或者实体的形象是帮助早期理解的，比如豆子，小木棍等等。

Karl Absolon狼骨

1937年Karl Absolon在捷克发现了一根刻着55道刻痕的狼骨，它应该是距今3万多年前的。

这根狼骨的相关猜测并不多，大致认为就是简单的计数。

伊尚戈骨

伊尚戈骨发现于1960年，在塞姆利基河附近的伊尚戈地区 。它的一端嵌有锋利的石英，也许这根骨头本身也是一个雕刻工具，这根骨头距今有2万多年。下图为它的不同侧面：

展开示意图

数字表示

这根骨头上面的刻痕明显分为三列，然后每列n组刻痕组成。数字有一些规律比如，每列的数字总和都是12的倍数，两边是60，中间是48。左边一列，四个数字全是质数。中间一列除掉最后两个数字5和7的话，就是一个数和他的倍数的组合的，3和6，4个8，5和10。

因为可以解读的方式很多，所以有人认为这表明了高超的数学知识，但是也有人认为，在距今2万年的时代，人类不能知道质数的概念，甚至不可能知道整除的概念，等等。最极端的看法认为，所有刻痕只是为了让这个骨头工具更好把握而已，没有任何数学上的意义。

受限数字系统和狩猎采集的关系

那么在这个阶段人类到底有没有数学知识呢？因为缺乏文字资料的佐证，这些骨器本身又可以做多种解释，所以很难确切的给出一个答案。

不过，有一个有意思的研究有可能可以做一个佐证。一般认为人类是从新石器时代，才开始进入农耕社会的，在此之前，人类主要生活在狩猎采集状态下。这三件古物都是来自旧石器时代的，在那个时候，人类还是生活在狩猎采集状态下。

而由于种种原因，某些人类族群到了近代现代仍旧生活在狩猎采集状态下。同时，全世界有很多语言系统，在某些语言系统中，数字的概念非常有限。于是有一个研究就研究了受限数字系统和狩猎采集状态的关系。（5）

当一个族群吃耗费的50%以上的动植物，不是他们自己种植或者养殖的，那么这个族群就是一个狩猎采集族群，他们的语言就是狩猎采集体系的语言。

而一个受限数字系统是指，在这样的数字系统里，口头表达，数字最多到2-3，更大的数字，要么干脆不精确地表达，要么用1、2、3和手（表达5）的和来表达。

记录大数字的时候，也有几种情况，

• 干脆超过3就不管了
• 用划道的方式来记录手（表达5）、脚（表达5），
• 用某种标准标记来代表手、脚
• 使用其他语言的数字系统
• 用划道的方式记录，一个一个的去分辨

统计结果如下：

简单的结论是，如果一个语言使用受限数字系统，那么多半，这个语言是狩猎收集语言。反之，如果一个族群是狩猎收集的，他们对数字的理解也往往可能相当受限。

也许，在旧石器时代，这三件骨器的主人们，使用的实际上是一个受限数字系统。没有发明出来对更大的数字的称呼，以及对手、脚，也就是5的标准化记录方法（这可能会引发10进制），用一个个刻痕来记录数字（符合受限数字系统的理论）。

其他灵长类动物可以理解数字么？

事实上，很多动物都有多少的概念。有的可能是从面积上知道大的更多，有的则是从数量上大概知道。但是，大多数动物应该是无法认识抽象的人类数字的，即使我们可能在很多马戏表演中看到过聪明的动物，他们好像是可以看懂数字。但是这类表演更多利用的是动物的条件反射，与其说他们看懂了数字，倒不如说驯兽员的手势或者小动作给了他们提示，让他们去做出看似合理的反应。

但是，跟人类亲缘非常近的灵长类动物有什么特别的么？

人类之前对这并不清楚。

日本京都大学灵长类研究所有一只非常著名的黑猩猩小爱，有一天她成功越狱了，震惊了所有人。（6）

研究所里面每只黑猩猩有自己的房间，然后外面是走廊，走廊上挂着钥匙，这个钥匙可以打开黑猩猩房间的门。而走廊的尽头有一个门是数字密码锁。按理说，这样设置，物理锁和密码锁集合的方案应该是相当安全的。但是小爱还是越狱了。

她是怎么出去的呢？后来从监控上发现，首先她找到了一个拖把棍把钥匙挑了下来，把自己的门开了，还打开了另外一个关系不错的黑猩猩的门。然后，她走到了密码锁前面，直接打开了密码锁。在当时人们还不了解黑猩猩是可以识别人类数字的，所以大为惊讶。

这个剧情已经非常像电影《人猿星球》里面的描述的故事了。黑猩猩其实是非常厉害的猛兽，可以轻松杀死一个人，学校、警方、军方都非常紧张，到处想办法捕捉。不过，小爱和它的朋友可能并没有野外生存能力，饿了几天肚子，自己就回来了。

那么，打得开数字密码锁，也许是记住了饲养员按键的顺序以及位置，一定代表可以理解数字么？

日本京都大学灵长类研究所后期有一系列的实验应该可以证明黑猩猩确实可以理解数字。（7）

研究有有一个大的猩猩的游乐场，每天猩猩在里面玩，玩够了自愿参加实验。这段是参加颜色和文字的匹配实验，跟识别数字并无关联，姑且看之。

下面是猩猩识别数字，按顺序点击的视频。特别的一点是，当发现猩猩可以轻松地完成这一任务以后，科学家就修改了方法。当猩猩点1的时候，其他的数字就消失，只留下一个方块。但是猩猩仍旧可以点对顺序。这说明猩猩有比人类更强大的短期记忆能力，这样的实验人类反而很难成功做到。

如果仅仅是上面的实验。可能还有人会觉得，是不是猩猩把这些数字当做图片记忆了，那么在数列中去掉几个的话，猩猩还可以点对顺序么。答案仍旧是肯定的。

综上，试验方法里面把数字的顺序，位置打乱，猩猩仍旧可以找到合理的顺序，去掉几个数字，猩猩仍旧可以找到合理的顺序，我们可能只能承认，猩猩学会了认识人类的数字。

结论

当然，虽然黑猩猩是我们的亲戚，即使黑猩猩可以认识数字，也不能证明我们的祖先在旧石器时代就已经发明和认识数字了。但是，我觉得这个对黑猩猩的理解，可以帮助我们理解人类的祖先的一些行为和遇到的处境，以及解决这些问题所需要的智力水平。当然，我们也知道了，在某些层面，比如短期记忆，猩猩可能比我们更加优秀。

从源头看起，很多动物都有分辨多少、大小的能力，这种能力都没有的话，可能在生存竞争中就会处于非常悲惨的境地。但是，人类慢慢的开始有了具体认识数量的能力，甚至有一天抽象了数字。而人类对数字和数学的理解，仍旧应该是跟应用紧密相关的，这可以解释为什么狩猎收集语言里面的数字系统往往都是受限的，因为在狩猎收集体系下，更复杂数字的重要性并不大。狩猎和收集都相当看天吃饭，而且在进入农耕之前，人类还没认识到谷物的价值，狩猎和收集来的产品并难以长期保存，所以，了解非常具体的数字的意义也并不大。

其实到了今天，我们可能还有一种研究方法，我们可以训练一个人工神经网络，一个深度学习的算法，像训练猩猩一样训练它，看什么样的训练方法，让它可以学会识别数字。这个听起来好好玩，我有空的时候，可以研究研究怎么做一个这个实验。

注意，现在有一些App可以用来帮助家长学生检查自己的小学数学作业，用手机对着卷子或者作业本，就可以识别出来作业的对错，比如你答12+35=47是对的。但是，这些App，虽然可能用了AI技术，甚至更直接比如用了人工神经网络，不过跟我说的思路仍旧完全不同。他们的做法可能是先把卷子当做一个特定的OCR任务，识别出来数字和符号和答案，然后计算是否正确。

我谈的是不要去设计步骤，就直接端对端把一张带有数字的图片给算法，然后给它一个标记顺序，这样的大量训练集，然后看它是否可以收敛到，每次都拿到一张带有数字的图片即可自动按顺序标注。

或者基于增强学习的理念，让它先随机顺序标注，然后标对了给奖励，标错了给惩罚，看它是否最终可以自动每次都标对。

附注：

1、https://en.wikipedia.org/wiki/Lebombo_bone

2、http://www.pnas.org/content/109/33/13214.long

3、http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/975360.stm

4、https://www.naturalsciences.be/sites/default/files/Discover%20Ishango.pdf

5、https://www.eva.mpg.de/fileadmin/content_files/linguistics/conferences/2015-speaking-of-Khoisan/P8b_Linguistics_Hammarstroem_Numeral_systems.pdf

6、http://blog.sina.com.cn/s/blog_593ae7d70102xxca.html （内容主要参考自，中山大学前教授张鹏的一席演讲，此人学术研究上颇有建树，但是因为多起涉嫌性侵女学生和女教师的案件被举报，已经被中山大学处理。一席也全网删除了他的演讲。这是其中一个复制的演讲稿）

7、https://www.youtube.com/watch?v=fzUyX5kezb0